Теореми Мертенса

Теоремами Мертенса називаються кілька пов'язаних тверджень, щодо властивостей простих чисел 22 доведені у 1874 році польським математиком Францом Мертенсом.

Твердження теорем

Нехай x {\displaystyle x} є дійсним числом і вирази n x {\textstyle \sum _{n\leqslant x}} і p x {\textstyle \sum _{p\leqslant x}} позначають суму по всіх натуральних і простих числах, що не перевищують. Тоді виконуються такі рівності (кожну із яких називають теоремою Мертенса):

( 1 ) n x Λ ( n ) n = log x + O ( 1 ) . {\displaystyle (1)\quad \sum _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x\,+\,O(1).}
Тут Λ ( n ) {\displaystyle \Lambda (n)} є функцією фон Мангольдта.
( 2 ) p x log p p = log x + O ( 1 ) . {\displaystyle (2)\quad \sum _{p\leqslant x}{\frac {\log p}{p}}=\log x\,+\,O(1).}
Більш того p n log p p log n {\textstyle \sum _{p\leqslant n}{\frac {\log p}{p}}-\log n} для будь-якого натурального числа n {\displaystyle n} за абсолютним значенням не перевищує 2.
( 3 ) 1 x ψ ( t ) t 2 d t = log x + O ( 1 ) . {\displaystyle (3)\quad \int _{1}^{x}{\frac {\psi (t)}{t^{2}}}\mathrm {d} t=\log x\,+\,O(1).}
Тут ψ ( x ) = n = 1 x Λ ( n ) = p k x log ( p ) {\textstyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{x}\Lambda (n)=\sum _{p^{k}\leqslant x}\operatorname {log} (p)} є функцією Чебишева.
( 4 ) p x 1 p = log log x + M + O ( 1 log x ) . {\displaystyle (4)\quad \sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M\,+\,O\left({\frac {1}{\log x}}\right).}
Константа M {\displaystyle M} називається константою Майсселя — Мертенса і вона є рівною:
M = lim n ( p P n 1 p log log n ) = γ + p P [ log ( 1 1 p ) + 1 p ] = γ + k = 2 μ ( k ) k log ζ ( k ) . {\displaystyle M=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\in \mathbb {P} }^{n}{\frac {1}{p}}-\log \log n\right)=\gamma +\sum _{p\in \mathbb {P} }\left[\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]=\gamma +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\mu (k)}{k}}\log \zeta (k).}
де γ = 0 , 5772156649... {\displaystyle \gamma =0,5772156649...} є константою Ейлера — Маскероні.
( 5 ) lim x log x p x ( 1 1 p ) = e γ . {\displaystyle (5)\quad \lim _{x\to \infty }\log x\prod _{p\leqslant x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma }.}

Література

  • Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
  • Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001